CHAPITRE PREMIER : 
PRINCIPES D’EXPERIMENTATION
1.1. GENERALITES 
1.1.1. OBSERVATION
L’observation est une étape importante qui permet d’obtenir les informations préliminaires sur les phénomènes de la nature. Ces informations peuvent par la suite être vérifiées.
Cette méthode  de comprendre les phénomènes de la nature par simple observation est surtout utilisée dans certaines sciences telles que : l’économie, la pédologie, la médecine etc. où les phénomènes à étudier ne peuvent pas être provoqués. Pour cette raison, on procède à des observations très étendues dans le temps et dans l’espace sous forme d’enquêtes afin de vérifier les hypothèses émises. 
1.1.2. EXPERIMENTATION  
Pour les sciences où les phénomènes à étudier peuvent être reproduits soit sur le terrain, soit au laboratoire, la vérification des hypothèses peut se faire à travers l’expérimentation. L’expérimentation nous conduit toujours dans un cercle continuel de l’hypothèse- expérimentation –résultats – nouvelle hypothèse.
1.1.3. ELEMENTS DU PROTOCOLE EXPERIMENTAL
L’expérimentation a comme objectif de provoquer des phénomènes et d’observer son évolution jusqu’aux résultats finaux. Par conséquent, afin d’obtenir des résultats attendus, l’expérimentation doit être planifiée. 
Dans la planification, on doit respecter les éléments suivants :        
 - Définition de la problématique
 - Définition de conditions d’expérimentation 
 - Définition de but de l’expérience
 - Définition de facteurs influençant le phénomène
 - Définition des unités expérimentales que l’on désire observer
 - Définir des observations à réaliser
 - Définir du dispositif expérimental
1.1.3.1. Définition de la problématique
La problématique vise à relever l’ensemble des problèmes qui se pose au niveau du thème qu’on voudrait étudier. Dans cette problématique on doit mentionner entre autres l’intensité et la gravité du problème, les types de la population concernée, la zone géographique concernée, etc. 
1.1.3.2. Définition de but de l’expérience
Pour mie ux dé finir les objectifs d’une expérimentation, il est important d’avoir des connaissances du phénomène à étudier. La connaissance du phénomène peut être acquise par l’étude bibliographique qui vous donne la synthèse et conclusions sous forme des hypothèses ou problèmes posés. Parfois la connaissance du phénomène peut provenir des résultats des essais ou des observations préliminaires.
1.1.3.3. Définition de condition d’expérience
Tenant compte de la planification de l’expérience, on doit indiquer les conditions dans les quelles l’expérience a été réalisée à savoir : en station ou hors station. 
Les expériences en station sont celles organisées de manière stricte au niveau d’une station de recherche, au laboratoire, chambre de culture (serres) ou tout milieu bien surveillé. Ces expériences en station sont très souvent plus artificielles et utilisent de matériel animal et végétal plus homogène, des équipements et locaux spéciaux et unités expérimentales plus petites.
Les expériences hors station sont celles conduites dans des milieux plus proches de la pratique avec conditions du milieu moins contrôlées (ex : à la ferme, au champs, en forêts etc.…)
Le matériel expérimental est plus hétérogène avec  unités expérimentales plus grandes conduisant à une plus grande variabilité des résultats.
L’expérimentation peut aussi être conduite en plusieurs étapes à savoir : l’expérimentation préliminaire, l’expérimentation principale et l’expérimentation de confirmation.
L’expérimentation préliminaire sert souvent à mieux comprendre les phénomènes à étudier afin de mieux définir les objectifs de l’expérience. Cette expérience se passe souvent en station.
L’expérience principale qui est souvent aussi réalisée en station constitue la base du travail de recherche et exige toutes les bonnes conditions de sa réalisa-tion.
L’expérience de confirmation sert à vérifier la validité des résultats obtenus en station dans les conditions plus proches du milieu naturel (ferme ou champ).
1.1.3.4. Définir les facteurs  et leurs objets 
a) Notion de facteurs
Les facteurs c’est une série d’éléments de même nature et qui peuvent influencer les résultats d’une expérience. Les facteurs peuvent être contrôlés ou non contrôlés.
a.1. Les facteurs contrôlés
Ces facteurs font partie de l’objet de l’étude plus les autres facteurs connus pouvant aussi influencer les résultants. Ces facteurs contrôlés doivent être introduits dans le dispositif expérimental pour que leurs effets puissent être mesurés.
Les facteurs contrôlés peuvent être qualitatifs c’est-à-dire non mesurables (variété,  produits phytosanitaires, médicament etc.…) ou quantitatifs c’est-à-dire mesurables. Les éléments de facteurs quantitatifs sont appelés les niveaux alors que ceux des facteurs qualitatifs sont des variantes.
a.2. Les facteurs non contrôlés 
Les facteurs non contrôlés sont généralement des facteurs à caractère aléatoire. Ces facteurs ne sont pas connus et sont appelés « Erreur expérimentale ».Ces facteurs proviennent de sources variables de milieu (physique, biologique, chimique…) et de matériel  expérimental (génotype).  
Plus l’influence de ces facteurs non contrôlés est grande, plus l’erreur expérimentale est grande et moins précis seront les résultats. Il y a donc lieu de rendre les facteurs non contrôlés contrôlables par le choix du plan expérimental.

b) Notion d’objet
L’objet c’est tout niveau ou variante d’un facteur unique ou toute combinaison de niveaux ou variante  de deux ou plusieurs facteurs. C’est en quelque sorte le traitement.
Après avoir défini les objets, il faut définir ensuite les conditions d’expérience (ex : modalités de travail du sol, fumures appliquée, densité, date et profondeur du semis, condition d’élevage, condition d’alimentation de base…   ).
b.1. Choix de niveaux ou de variantes
Dans le cas d’un facteur qualitatif, le choix de variante ne pose pas de problème car la  variante se confond avec le but de l’expérience (ex : comparer deux variétés des riz …). Dans le cas de facteurs quantitatifs, le choix de niveau doit être fait avec certaines exigences :
-	Connaître le niveau de référence à partir de la revue de littérature.
-	L’intervalle de niveau doit être assez grande pour permettre une étude du phénomène dans des intervalles plus étendus.
-	Les niveaux doivent être en progression arithmétique
-	(10, 20, 30, 40 T/Ha ou en progression géométrique (ex : 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,8 et 0,16g/Ha).  
Il faut au moins trois niveaux pour mieux vérifier l’hypothèse de la linéarité et de la localisation du point optimum.
 b.2. Traitement témoin ou de  référence
 Lorsqu’on prépare une expérimentation il faut toujours vérifier s’il est opportun de prévoir un traitement témoin. Le Témoin peut être les variétés locales connues dans le milieu où l’on veut introduire des nouvelles variétés. 
Le témoin peut aussi être un ensemble de sujets non soumis aux traitements étudiés. Il faut cependant éviter d’introduire des témoins quand ce dernier n’est pas nécessaire par exemple quand on sait déjà que les différences dues  aux facteurs étudiés sont connues d’être très élevées. 
Mais si l’objet témoin est un des éléments importants de l’expérience comme par exemple si on compare une variété locale avec des variétés importées on fera en sorte que l’objet témoin soit répété t fois et chaque variété importées v fois avec t= où p=nombre des variétés importées. Dans ce cas la précision de la comparaison est maximum. 
1.1.3.5. Choix des unités expérimentales
 a) Définition des unités expérimentales
On appellera unité expérimentale, c’est l’unité de base de l’expérience et qui peut être traitée individuellement et qui est l’objet d’au moins une observation. Pour des expériences sur terrain une unité expérimentale c’est souvent une parcelle d’une certaine étendue de terre. Mais de façon générale l’unité expérimentale peut aussi être une plante, une partie d’une plante, un animal isolé, un groupe d’animaux ou une partie d’un animal.
En industrie l’unité expérimentale peut être tout élément ou groupe d’éléments traités individuellement (boîte de conserve, une pièce d’automobile…).
En physique et chimie, l’unité expérimentale peut être l’unité servant de base aux manipulations réalisées (quantité fixée d’un produit donné…).
b) Dimension des unités expérimentales
Théoriquement il serait mieux d’utiliser des unités expérimentales aussi petites que possible pour réduire la variance entre les éléments de même unité expérimentale.
En effet, si par exemple =variance entre les lots et =variance entre les animaux  dans le même lot, la variance de la moyenne générale de l’ensemble des observations l×a, sera de :
  
  où      l= nombre de lot
   a= nombre d’animaux par lot
 La valeur de  Sera plus petite quand a= 1 c à d, quand le nombre d’animaux par lot sera de 1.
Cependant le traitement de plusieurs lots formés d’un animal coûte cher en argent et en temps.
Ainsi sur le plan pratique les dimensions des unités expérimentales à utiliser dépendent du compromis entre les exigences théoriques et les exigences pratiques.
Mais puisqu’il n’existe pas une règle absolue définissant de façon stricte les unités expérimentales à utiliser, on conseille ce qui suit :
- En horticulture (culture maraîchère et fruitière) : on utilisera au moins 1m2 de parcelle pour avoir au moins 5 à 10 plantes par parcelle.
- En arboriculture fruitière : 5 plantes au moins par parcelle. Mais si on craint l’utilisation de trop grandes étendues de terre on utilisera 1 arbre par parcelle.
- Pour les grandes cultures et cultures herbagères utilisant des moyens mécaniques, on utilisera des parcelles d’une étendue de l’are ou une dizaine d’ares.
c) Les Bordures
c.1. Forme de bordure 
En production végétale il existe souvent des interférences entre les parcelles voisines par le fait que les traitements appliqués à une parcelle peuvent affecter les plantes de bordure de la parcelle voisine.
Pour éviter cela on peut soit se limiter à considérer les données de la partie centrale de la parcelle et considérer les plantes de pourtour  comme simple bordure.
 c.2.Dimension de bordure
Les dimension s sont fixées en tenant compte à la fois du matériel disponible et de l’importance des interférences entre les plantes de parcelles voisines. L’utilisation d’une ou de quelques lignes de bordure peut réduire les effets liés à la bordure.
Mais quand on utilise un arbre par parcelle l’utilisation de bordure n’est pas indiquée.

 d) Forme des unités expérimentales
Pour les expériences au champ quand le terrain est homogène, la forme de parcelle peut être carré car en ce moment les interférences  entre les parcelles sont réduites et l’importance des bordures est plus faible.
Mais si le terrain est hétérogène, dans une direction donnée on conseille d’adopter des parcelles rectangulaires allongées parallèlement à la direction générale de cette hétérogénéité.
Quand on fait des essais destinés à comparer différents écartements ou différentes distances de plantation, l’utilisation de parcelles de dimension variables devient inévitable afin de garder le même nombre de plantes par parcelle. 
1.1.3.6. Choix des observations
Les observations à faire ou les paramètres à mesurer doivent être définis dès le départ et doivent être faites avec grands soins et selon des procédures aussi précises que possible pour assurer la meilleur reproductibilité et réduire les erreurs entre les mesures de même traitement. 
On   doit planifier l’expérience pour connaître les dates de récolte des données et la durée même de l’expérience. Définir si les observations doivent s’étendrent à l’ensemble des unités expérimentales ou à un échantillon seulement. Dans le dernier cas la méthode d’échantillonnage doit être bien définie de façon précise.
1.1.3.7. Choix du dispositif expérimental
Le choix du dispositif expérimental est fait de façon à réduire l’erreur expérimentale c’est-à-dire à augmenter la précision des résultats. 
Il y a généralement trois méthodes pour augmenter la précision des résultats quelque soit le dispositif expérimental utilisé. Il s’agit de :
-	Augmenter la taille de l’expérience par la  réplication.
-	Améliorer la technique expérimentale.
-	Traiter le matériel expérimental.

a) La réplication
La réplication tend à réduire l’erreur associée avec la différence entre les résultats moyens de deux traitements pour vu que les principes de randomisation ont été appliqués.
Néanmoins par manque de moyen financier ou pour éviter
 l’utilisation de grandes étendues de terre conduisant à une augmentation de l’hétérogénéité de sols, on est obligé de limiter le nombre de réplication.
Cependant, l’adoption d’un dispositif expérimentale adéquat peut compenser la réduction de nombre de répétition.
b) Améliorer la technique expérimentale
Par exemple : nourrir les porcelets d’expérience par auge individuel pour éviter la concurrence.
c) traiter ou sélectionner le matériel expérimental
Choisir des sujets homogènes (même sexe, même âge, même génotype….)
Purifier le matériel (rations purifiées, engrais synthétiques etc.…)
De façon générale, un bon dispositif expérimental doit avoir les propriétés suivantes : 
-	Doit donner l’estimation des effets de traitements sans les biaiser grâce à la randomisation et contrôle locale.
-	Doit donner l’estimation de l’erreur expérimentale sans la biaiser grâce à la réplication, randomisation et contrôle locale
-	Avoir suffisamment de précision grâce à la réplication.
-	Doit procurer des conclusions qui ont un grand intervalle de validité grâce à la réplication.
-	Doit être aussi simple que possible.

 
CHAPITRE 2 : LE DISPOSITIF COMPLETEMENT RANDOMISE
2.1. DEFINITION  
C’est le dispositif le plus simple où l’affectation des différents objets aux différentes unités expérimentales se fait de manière au hasard .Cette répartition au hasard  des objets dans les unités expérimentales  peut se faire à l’aide de table de permutation au hasard (voir cochran et cox 1957)
2.2. MODELE FIXE
2.2.1. MODELE STATISTIQUE THEORIQUE
i=1,2,…t    j=1,2,…Mi				 
où    yij= la jnième observation sur le i nième traitement                                                                  = effet général commun à toutes les unités expérimentales.  
        =
                     
 2.2.2. ANALYSE D E LA VARIANCE  
Source de variation	dl	SC	CM	
Total
	N-1			
Traitement	t-1			
Erreur	N-t			
 Où  =Total traitement.
            ScT=Somme des carré total. N=nombre total d’observations.
            Sct=somme des carré traitement. n=nombre d’observations par traitement.
            SCE=somme des carré erreur.
 2.2.3. AVANTAGES
1.	Très facile à disposer sur le terrain.
2.	Très flexible et s’adapte à n’importe quel nombre de traitements et réplications par traitement.
3.	Donne le maximum de degré de liberté pour le carré moyen de l’erreur.
4.	L’analyse est simple même s’il y a des réplications inégales.
5.	La perte d’information due à une donnée manquante est moindre.
2.2.4. DESAVANT AGES
1.	Demande un matériel extrêmement homogène.
2.	L’efficience du dispositif diminue quand le nombre de traitement est très grand.
2.2.5. QUAND PEUT–ON UTILISER CE DISPOSITIF.
1.	Quand le matériel expérimental est très homogène.   
2.	Quand on prévoit une perte d’une partie des unités expérimentales.
3.	Dans les petites expérimentions où l’utilisation d’autres dispositifs ne compense pas la perte de degré de liberté de l’erreur.   
2.2.6. EXEMPLE
On a étudié le rendement de quatre variétés de maïs  à savoir M1, M2, M3, et M4  à la station de l’INERA sur une superficie de 1ha. Chaque variété a été plantée sur 5 parcelles.
Questions
1. Présenter sur terrain le dispositif expérimental.
Solution
•	Nombre de parcelles 4 variétés x5=20parcelles 
•	Affectation de variétés au hasard sur les parcelles :
a) Permutation de 20chiffres, 1à20

               b) Affectation au hasard de vari étés dans les parcelles.
1	2	3	4	5	
6	7	8	9	10	
	11	12	13	14	15	
16	17	18	19	20	
2. Etant donnés les résultats ci après : 
Variétés et rendements (tonnes/ha)
M1	M2	M3	M4	
12	16	18	17	
24	21	24	7	
18	10	12	9	
26	18	19	9	
29	18	10	16	
TM1=109	TM2= 83	TM3=83 	TM4=58	
TOTAL GENERAL			333	
 3. Faites l’analyse de la variance
       
2.3. MODELE  2 OU MODELE VARIABLE.
Dans le modèle variable, les effets de traitements Ai sont variables. C’est le cas de résultats récoltés de manière aléatoire sur une grande population .Les unités expérimentales ne sont pas fixes mais choisies au hasard.
Exemple : étude de teneur d’un minéral ou de protéine dans les feuilles d’un arbre. 
Dans ce cas  on peut  sélectionner un échantillon aléatoire de feuilles dans un arbre et pour chaque (p) feuilles on peut faire un certain nombre  de déterminations (n). Dans ce cas  nous aurons pxn observations où les feuilles sont des classes alors que les déterminations sont les membres de classes.
2.3.1. MODELE STATISTIQUE
yij = +Ai +ij   
où    yij=la valeur de la jième observation du ixième matériel étudié 
=la moyenne de la population de matériel étudié.
Ai=la différence entre la valeur observée de nième matériel et la moyenne de la population.
ij = le terme de l’erreur, car la détermination de valeur dans le matériel est sujette d’erreur de mesure
2.3.2. ANALYSE DE LA VARIANCE
1. Facteur correctif C= où N=np
2. SC entre classe : 
3. SC détermination : 
4. SC détermination de même classe : SCd - SCs=SCd/s

Le tableau résumé de l’analyse de la variance sera :
Source de
Variation	Dl	SC	CM	CM attendu	
Entre Classe	p-1	SCs			
Détermination
et même classe	(n-1) p	SCd/s			
2.3.3. EXEMPLE
 On a analysé le calcium dans les feuilles de manguier .Pour cela on a choisi au hasard 4 feuilles et pour chaque feuille on a effectué 4 analyses. Les résultats sont les suivants :
	Détermination		
Feuilles	1      2       3            4	Total feuille	
1
2
3
4	3,28 3,09  3,03     3,03
3,52 3,48  3,38     3,38
2,88 2,80  3,81     2,76 
3,34 3,38  3,23     3,26	12,43
13,76
12,250
13,21	
		TG= 51,65	

2.3.3.1. Analyse de la variance
1.	Facteur correctif ; C=
2.	SC feuille= -C=0,8
3.	SC Détermination-C=13,51
4.	SC Détermination de même feuille=SCdét- SCfeuille=13,51-0,8=12,71.

Le tableau de l’ANOVA sera :
Source de
Variation	d.l	SC	CM	Carré moyen estimé	
 Feuilles.

Détermination
de même feuille	4-1=3

4(4-1)=12	0,80

12,71	0,26

1,059	

CHAPITR E III : DISPOSITIF HIERACHISE
Dans certains cas d’échantillonnage, chaque échantillon peut être subdivisé en sous échantillons.
Le modèle peut être aléatoire comme il peut être mixte.
3.1. Modèle aléatoire
3.1.1. Modèle statistique
 Yijk= +Aj+Bij+ijk
 Dans le quel 
=la moyenne de la population
A=la classe ou l’échantillon
Ai =la  différence entre la iième classe et la moyenne de la population.
B= la sous classe ou le sous échantillon. 
Bij= la différence entre la jième  sous classe  de i iéme classe et la moyenne de la population.
 Ijk=effets aléatoire. 
  Il faut noter que A et B sont aléatoires.
Yijk=la valeur de iniémé classe avec jniéme sous classe de la kniémé mesure.

3.1.2. PRESENTATION DES RESULTATS
	Mesures 1,2,….k=n	Total sous échantillon	Total échantillon
 	
ClasseA i=1 à a
	Sous classeB   j=1à b	1	2	3	K	-	-	
A1	B1
B2
.
Bj	Y111
Y121
.
Y1j1	Y112
Y122
.
Y1j2	Y113
Y123
.
Y1j3	Y11k
Y12k
.
Y1jk	Y11.
Y12.
.
Y1j.	

Y1..	
A2	B1
B2
.
Bj					Y21.
Y22.
.
Y2j.	

Y2..	
Ai	B1
B2
.
Bj					Yi1.
Yi2.
.
Yij.	

Yi..	
	TG=         Y..	

3.1.3. Analyse de la variance.
1. Facteur correctif C= 
2.  
3. 
4.  
5.
6. SC =SC-SC

 

3.1.4. TABLEAU RESUME DE L’ANOVA
Source de
Variation	Dl	SC	CM	CM attendu	
Classe A

Sous
classe/classe B

Mesure /sous
C lasse M
	a-1

(b-1) a

(n-1) ab	SCA

SCB/A

	

	

	
 ;      ;
Les carrés moyens attendus nous permettent de calculer les  variances liées aux classes et aux sous classes.
Ces variances sont :   
            
3.1.5. EXEMPLE
On a déterminé
 la teneur en phosphore dans les feuilles de Penicetum purpureum d’un pâturage. Pour cela, on a choisi quatre plantes .Pour chaque plante on a prélevé trois feuilles et pour chaque feuille on a effectué deux mesures. Les résultats sont les suivants :
 Mesures	
Plantes	Feuilles	1         2	Total feuille	Total classe	
1	1
2
3
	3,28    3,09
3,52    3,48
2,88    2,80 	6,37
7,00
5,68	
19,05	
2	1
2
3
	2,46    2,44
1,87    1,92
2,19    2,19 	4,90
3,73
4,38	
13,07
	
3	1
2
3 
	2,77    2,60
3,74    3,44
2,55    2,55	5,43
7,18
5,10
	
17,71	
4	1
2
3
	3,78   3,87
4,07   4,12
3,31   3,31	7,65
8,19
6,62	
22,46	
				TG=72,29	
Analyse de la variance.
1. Facteur corrélatif.	
2. SC détermination=
       3. SC Feuille= 2- C =10,1905
     
5. SC feuille/Plantes= SC feuille -SC Plantes=
10,1905-7,5603=2,6302
6. SC détermination /Feuille=SC déter–SC feuille=
10,2704 – 10,1905= 0,0799.

Tableau résumé de l’ANOVA
Source de variance	Dl	SC	CM	CM attendu	FC	
Plante	3	7,5603	2,5201			
Feuille/Plantes	8	2,6302	0,3288			
Détermination/Feuille	12	0,0799	0,0067			
 
3.2. MODELE MIXTE 
Dans certaines recherches d’échantillonnage la classe a souvent des effets fixes qui doivent être estimés, alors que les sous-classes ont des effets aléatoires.
3.2.1. MODELE STATISTIQUE

où    
3.2.2. PRESENTATION DES RESULTATS
La présentation des résultats est la même que dans le modèle aléatoire.
3.2.3. ANALYSE DE LA VARIANCE
Elle s’effectue de la même manière que le cas de modèle variable sauf que dans le paramètre de carré moyen estimé la classe comprendra :

Par exemple :
Dans une Ferme porcine, on a sélectionné 5 verrats. Chaque verrat a été accouplé à 2 truies choisies au hasard. Dans chaque nichée, 2gorets ont été choisis au hasard sur les quels on a étudié le gain de poids. Etant donné les résultats ci-après, calculer les effets des verrats et les effets des truies de même verrat sur le  caractère gain de poids des gorets.
Classe A
Verrat
	Truie B	Goret [gain de poids Kg/mois (n)] 	Total 
Truie	Total
Verrat	Total
général	

		1	2				
1	1
2	2,77
2,58	2,38
2,94	5,15
5,52	
10,67		
2	1
2	2,28
3,01	2,22
2,61	4,50
5,62	
10,12		
3	1
2	2,36
2,72	2,71
2,74	5,07
5,46	
10,53		
4	1
2	2,87
2,31	2,48
2,24	5,35
4,55	
9,98		
5	1
2	2,74
2,50	2,56
2,48	5,30
4,98	
10,28		
   n=Nombre de goret par truie = 2
   B= Nombre de truie par verrat=2
 Tableau résumé d’ANOVA
Source de variation	Dl	CM	CM estimé	FC	Fo 05	
Verrat

Truie/Verrat

Goret/truie	4

5

10	0,02490

0,1129

0,0387 	
	0,022

2,91

-	5,19

3,33

-	

CHAPITRE IV :
DISPOSITIF EN BLOCS RANDOMISES                   COMPLETS.
Lorsque les expériences se font réellement au champ, le bloc est réellement un ensemble des parcelles voisines très semblables les unes aux autres en ce qui concerne la croissance des végétaux .Dans ces blocs, le nombre des parcelles par bloc est égal au nombre d’objets ou traitements.
La répartition des traitements au sein de chaque bloc se fait au hasard. C’est ce qui a donné le nom de bloc randomisé complet. La randomisation des traitements au sein de bloc peut se faire selon les tables de permutation aléatoire.
Si le terrain est homogène, on peut adopter la forme carrée pour les blocs et les parcelles. Mais s’il y a un gradient de fertilité dans une certaine direction, on donnera au bloc une forme allongée perpendiculairement à ce gradient et aux parcelles.
Le dispositif en bloc doit respecter les directives ou principes suivants :
-	Répétition de chaque traitement au hasard, dans chaque bloc une seule fois.
-	Contrôler les facteurs de variation les plus importants qui risquent d’ajouter leurs effets à ceux des traitements.
4.1. MODELE STATISTIQUE

4.2. CARACTERES DE BLOC
Il doit y avoir de base logique pour grouper les unités expérimentales, c’est-à-dire pour faire ces blocs. Quelles sont les influences que vous voulez contrôler par les blocs?
Les U.E. au sein d’un bloc particulier doivent être aussi homogènes que possible. (Cfr homogénéité du bloc, le gradient de fertilité).
Les variations entre les blocs doivent être aussi grandes que possible.
4.3. AVANTAGES DES BLOCS
Le bloc enlève l’effet d’un facteur contrôlable d’où ce dispositif est plus précis que le dispositif complément randomisé.
Il est très flexible et s’accommode à n’importe quel nombre de blocs et de traitements.
L’analyse statistique est simple et rapide.
4.4. DESAVANTAGES DE BLOCS
Le dispositif ne convient pas pour un très grand nombre de traitements à cause du danger d’augmenter l’hétérogénéité au sein des blocs.
L’analyse peut ne pas être valide s’il y a interaction entre bloc et traitement.	

4.5. PRESENTATION DES RESULTATS
traitements 
i=1,2…a	Blocs ou réplications. b=1…....... ....r 	Total traitement	Moyennes des X	
	1                  2                3.............r                 			

1

2 

3
..
.
.
..
.
.
a
	X 11             X1.2               X1.3.........X1.r

X2.1                   X2.2                  X2.3   .....X2.r

X3.1                  X3.2                      X3.3.........X3.R

Xa1           Xa.2                 Xa.3.......Xar  	Tt1

Tt2

Tt3
.
.
.
...
.

Tta.
		
Total Bloc ou Répétition	TR1           TR2               TR3 .......TRr     	TG..

4.6 ANALYSE DE LA VARIANCE
4.6.1. CALCULE DE SOMMES DES CARREES
1. Facteur correctif = (TG)2 /N =C   =(TG)2/ar
2. SC total= (X1.1)2  + ((X1.2.)2 +....................((Xar)2 - C
       3. SC Trait= (Tt1)2 + (Tt2)2 +..................(Tta)2 
                                   _____________________________________  __  C =
                                                                r         
4. SC bloc = (TR1)2 + (TR2)2 +............+ (TRr)2
                           ______________________________________  __ C =
                                                            a

5. SC Erreur=

4.6.2. TABLEAU RESUME DE L’ANOVA
Source de variation	Dl	SC	CM	Fc	F0,05	
To tal	ar-1	SCT	---	---		
Trait	a-1	SCtr				
Bloc	r-1	SCbl	SCb/r-1=CMbl			
Erreur	(a-1)(r-1)	scE	SCE/(a-1)(r-1)=CME			
4.7. EXEMPLE
Dans un champ de coton on a   appliqué 5 doses de potassium : 36, 54, 108, 72, et 144Kg/ha en utilisant 3 blocs. A la maturité de coton on a étudié la résistance de fibre à la traction. Les résultats obtenus sont les suivants : 
                                       Blocs  	
Doses K2O5 	  1         2        3 	Total
Engrais		
36	7,62    8,00    7,93	23,55	7,85	
54	8,14    8,15    7,93	24,22	8,07	
72	7,76    7,73    7,74	23,23	7,74	
108	7,19    7,57    5,8	20,56	6,85	
144	7,46    7,68    7,21	22,35	7,45	
Total bloc	3 8,17   39,13  36,61	113,91		
4.7.1. ANALYSE D E LA VARIANCE
1. Facteur correctif.= (113,91)2/15=865,032 
2. SC Total= 4,6215
3. SC traitement=2,6613
4. SC Blocs =0,64758
5. SCE=SC total –SC traite –SC blocs=1,31262

4.7.2. TABLEAU RESUME DE L’ANOVA
Sources de variance	Dl	SC	CM=S2	Fc	F0,05	Conclusion	
Total	14	4,6215					
Bloc	2	0,64758	0,32379	1,974	4,46	NS	
Traitement	4	2,6613	0,665325	4,0549	3,84	*	
Erreur	8	1,31262	0,1640775				
4.8. COMPARAISON DES MOYENNES
Puis que le test de l’analyse de variance a révélé que les différentes doses d’engrais potassiques ont des effets différents, il reste à vérifier  par le test de différence  entre les moyennes, quelles sont les moyennes qui sont statistiquement différentes. Plusieurs tests de comparaison de moyennes existent en statistique, parmi les quels nous avons :
-	Le test de la plus petite différence significative (LSD),
-	Le test de différence significative de Fisher,
-	Le test de Dunette,
-	Le nouveau test de rangées multiples de Duccan 
-	Le test de Turkey
-	Le test de Newman-Keul
Nous donnons ici un exemple de test de la plus petite différence significative (LSD).
a. Principe : La différence entre deux moyennes est déclarée significative si cette différence est supérieur à la valeur de  à la probabilité de 0,05.
b. Etape
                                               b1.On trouve la valeur de LSD =  = erreur standard de la différence entre deux moyennes.
                                        b2. On arrange les moyennes en ordre croissant horizontalement et verticalement.
                                        b3. On trouve la différence entre deux moyennes 
                                        b4. On arrange les moyennes par ordre décroissant horizontalement. 
                                        b5. On compare les différences entre les moyennes deux à deux avec la valeur de LSD.
Dans notre exemple sur les engrais potassiques	
LSD==0,76            2,306x

	6,85	 7,45	7,74	7,85	8,07	
 6,85	0	0,6	0,89	1	1,22	
7,45	-	0	0,29	0,4	0,62	
7,74	-	-	0	0,11	0,33	
7,85	-	-	-	0	0,22	
8,07	-	-	-	-	0	

  
CHAPITRE V :  DISPOSITIF EN CARRE LATIN
5.1. UTILISATION
Dans les expériences au champ, il y a souvent un gradient de fertilité qui va dans le sens du champ, c’est-à-dire parallèle au champ. Dans ce cas l’utilisation de blocs randomisés résout le problème en éliminant les différences de fertilité moyenne entre les  groupes des parcelles des blocs. 
 Mais dans le cas où le gradient de fertilité va parallèlement dans les deux sens et surtout lorsqu’on ne connaît pas la direction du gradient de variation des conditions du milieu, le dispositif en carré latin est le mieux indiqué.
5.2. MODELE STATISTIQUE 
  
5.3. AVANTAGES
-	Elimination de 2 sources de variation.
-	L’analyse est encore simple.
5.4. DESAVANTAGE
Le dispositif ne convient pas pour un petit nombre de traitements inférieurs à 4, ou pour un trop grand nombre de traitement supérieur à 10.
5.5. PLAN EXPERIMENTAL
La surface de  l’expérience a généralement la forme de carré. Chaque traitement est affecté au hasard une fois dans chaque ligne et colonne de telle manière que pour un nombre de (n) traitements on obtient n2 parcelles.
Schématiquement si on a 6 traitements :
T1, t2, t 3, t4, t5, t6, nous aurons 66=36parcelles. 
Ces traitements seront disposés au hasard dansles lignes et colonnes

Exemple 
T4	T2	T3	T5	T1	T6	
T3	T6	T1	T2	T4	T5	
T1	T4	T5	T6	T3	T2	
T6	T5	T4	T1	T2 	T3	
T2	T1	T6	T3	T5	T4	
T5	T3	T2	T4	T6	T1	

Les parcelles peuvent aussi être disposées en lignes continues. Dans ce cas les lignes peuvent être comparées aux blocs et les colonnes spécifient l'ordre au sein de chaque bloc.
Exemple.
 Rep 1       Rep 2         Rep3           Rep 4          Rep 5
					
Par la suite chaque répétition sera divisée en 5 parcelles et les traitements seront affectés au hasard dans chaque parcelle.
Lors de l'analyse de la variance on mettra les résultats selon le dispositif en carré latin normal.

5.6. PRESENTATION DES RESULTATS POUR L’ANALYSE DE LA VARIANCE.
5.6.1. LIGNES ET CO LONNES
Colonnes	Total
Lignes	
Lignes	1	2	3	4	5	6		
1	T4	T2	T3	T5	T1	T6	Tl1	
2	T3	T6	T1	T2	T4	T5	Tl2	
3	T1	T4	T5	T6	T3	T2	Tl3	
4	T6	T5	T4	T1	T2	T3	Tl4	
5	T2	T1	T6	T3	T5	T4	Tl5	
6	T5	T3	T2	T4	T6	T1	Tl6	
Total
colonnes 	Tc1	Tc2	Tc3	Tc4	Tc5	Tc6	TG	

5.6.2.  TRAITEMENTS

	T1	T2	T3	T4	T5	T6	
Total
Traitement	Tt1	Tt2	Tt3	Tt4	Tt5	Tt6	
Moyenne traitements							
5.7. ANALYSE DE LA VARIANCE
5.7.1. CALCUL DES SOMMES DES CARRES
1. Facteur correctif 
2. Sc  Total= (T4)2+ (T2)2+... (T1)2-C
3. SC colonnes=-C
4. SC ligne= -C
5. SC traitement =-c
6. SC erreur =SC Total -SC colonnes- SC ligne -SC Trait.
5.7.2. TABLEAU RESUME DE L’ANOVA
Source de Variance	Dl	SC	CM	Fc	Fα	
Total
Colonne
Ligne
Traitement
Erreur	n2-1
n-1
n-1
n-1
N2-3n+2	SCT
SCc
SCl
SCt
SCE				

5.8. EXEMPLE
5.8.1. EXPERIMENTATION
On a étudié les effets de l’écartement sur le rendement de la culture de tomate. Les écartements utilisés sont :
A=20cm, B=40cm, C=60cm, D=80cm, et E=100cm.
Les résultats obtenus sont dans le tableau ci-après. 
Colonnes
	
Total
lignes	
LIGNE	1	2	3	4	5		
1	B:257	E:230	A:279	C:287	D:202	1255	
2	D:245	A:283	E:245	B:280	C:260	1313	
3	E:182	B:252	C:280	D:246	A:250	1210	
4	A:203	C:204	D:227	E:219	B:259	1086	
5	C:231	D:271	B:266	A:334	E:338	1440	
Total
colonnes	1118	1240	1297	1340	1309	6304	
                              Traitements 
	A	B	C	D	E	
Total	1349	1314	1262	1191	1188	
Moyennes 	269,8	262,8	252,4	238,2	237,6	
5.8.2 ANALYSE DE LA VARIANCE 
5.8.2.1. Calcul de sommes des carrées

         6. SC Erreur= 36571-13601-6146-4156=12668

6.8.2.2. TABLEAU RESUME DE L'ANOVA
Sources de variation 	Dl	SC	CM	FC	F0,05	
Total	24	36571				
Lignes	4	13601	3400	3,22	3,26	
Colonnes	4	6146	1536	1,45	3,26 	
Traitements	4	4156	1039	0,98	3,26	
Erreur	12	12668	1056			

 

                
 
CHAPITRE VI. DISPOSITIF FACTORIEL
6.1. DEFINITION  
Le dispositif factoriel est un dispositif où les effets d’un certain nombre de facteurs sont étudiés simultanément avec chaque facteur ayant un certain  nombre de niveaux ou des variantes.  
6.2. DISPOSITIF FACTORIEL 22 

B	
A	  b1                             b2	
a1
a2	a1b1                          a1b2
a2b1                          a2b2	

Considérons deux facteurs A et B où :
A avec deux niveaux a1 et a2
B avec deux niveaux b1 et b2

La comparaison a2b2 –a1b2 est une estimation de l’effet de A quand B est gardé constant à son niveau le plus élevé.
La comparaison a2b1-a1b1est l’effet de A quand B est gardé constant à son niveau le plus bas.
La moyenne de ces deux comparaisons qui est
 LA= [(a2b2-a1b2) + (a2b1-a1b1)] est appelé effet principal de A
Similairement 
L B= [(a2b2-a2b1) + (a1b2-a1b1)] est l’effet principal de B.
6.2.1. PRESENTATION DES RESULTATS    
Le tableau de présentation des résultats sera :
Facteur A	Facteur B	Répétition ou bloc
1           2           r	Total traitement	
a1	b1

b2	a1b1       a1b1………a1b1    
a1b2   a1b2  a1b2	T
	
a2	b1

b2	a2b1      a2b1………a2b1

a2b2      a2b2…….a2b2	
	
Total bloc		Tbl1        Tbl2……….Tblr	TG	
  
D’autre part, en comparant les effets des A quand B est au niveau le plus haut et les effets de A en gardant B au niveau le plus bas, nous aurons :
  [(a2b2-a1b2)-(a2b1-a1b1)]=    [a2b2-a1b2-a2b1+a1b1]

Cette différence est appelée effet d’interaction de facteurs A et B ou AB.
Si on définit :
a1b1= (1)
a2b1=a
a1b2=b
a2b2=ab
Nous aurons :
Effet principal de A= (ab- b+a-(1)] 
Effet principal de B= [ab- a+b-(1)] 
Effet AB= [ab-b-a+ (1)] 

6.2.2. TABLEAU DES SIGNES
Le tableau des signes permettant l’analyse de la variance est présenté ci –dessous.
Effet de facteur	
Combinaisons de traitement		
	 	Diviseur	SC	
    
      -A
     
      -B

      +AB	
-      +     -     +

-       -    +     +

+      -     -     +	
r∑2

r∑2

r∑2		
total traitement  	Tt1         Tt3       Tt2      Tt4			

        Où r= réplication
Règle des signes : 
Combinaison paire=+
Combinaison 0ou1=+
      Combinaison impaire=-

                                                    A = Tt4 – Tt2 + Tt3 – Tt1.  Les valeurs                   
                                                      de B et AB sont trouvées de la même 
                                                     manière càd d’après la règle de       
          				   décomposition des sommes des    
                                                     carrés : Si L= 1T1 + 2T2 + …nTn
				   et si ∑ = 0 alors L2/r∑2 est une     
                        				    somme des carrés avec dl = 1            
6.2.3. EXEMPLE D’UN DISPOSITIF 22
On a nourri les porcelets avec des antibiotiques à des doses de 0 et  40 mg/j avec de la vit B12 à des doses de 0 et 5 mg/j. L’expérience a été effectuée avec 3 répétitions .A la fin de l’expérimentation on a calculé le gain de poids des porcelets   
Les résultats obtenus sont les suivants
Antibiotique (A) 	Vit.B12	Répétition	Total
traitement	
		1	2	3		
0
	0
5mg	1,3
1,26	1,19
1,21	1,08
1,19	3,57(1)
3,66(b)	
40
	0
5mg 	1,05
1,52	1,00
1,56	1,05
1,55	3,10(a)
4,63(ab)	
Total répétition		5,13	4,96	4,87	14,96	
6.2.3.1. Le tableau de signes et < de calcul des effets principaux et interaction
La présentation des résultats se résume comme s uit :
Effet de facteur	combinaison de traitement	
	(1)	A	B	ab	
- A= 0,5
- B=  1,62
+ AB=1,44	-
-
+	+
-
-	-
+
-	+
+
+	
Total     traitement	3,57	3,10	3,66	4,63	
6.2.3.2. Analyse de la variance avec calcul des     sommes des                                                              carrées

 

6.2.3.3 Tableau résumé de l’analyse de la variance 
          
Source de va riation	 dl	SC	CM	F	F0,05	F0,01	Conclusion	
Total
Répétition
Traitement
Antibiot. A
Vit.B12
AB
Erreur	11
2
3
1
1
1
6	0,54
0,00885
0,41
0,023
0,22
0,17
0,1213	
0,00442
0,136
0,023
0,22
0,17
0,0202	
-
6,73
1,14
10,89
8,41

4,76
5,99
5,99
5,99	

9,78
13,75
13,75
12,75	

*
NS
*
*	
6.2.3.4. Présentation des résultats moyens 
Effet d’antibiotique sur le poids moyen
	Doses antibiotiques	
Paramètres 	0	40mg	
Gain de poids	1,15	1,28	
Effet de la vit B12 sur le gain de poids
	Vitamine B12 	
Paramètres 	0	5mg	
Gain de poids	1,11	1,38	
Effet d’antibiotique et Vit.B12 sur le gain de poids
	Vitamine B12	
 Ant.	0	5	
0	1,19	1,22	
40	1,03	1,54	
6.3. DISPOSITIF FACTORIEL 23
C’est un  dispositif de 3 facteurs chacun à 2 niveaux. Soient les facteurs ci-après :
            A avec niveau a1 et a2
            B avec niveau b1 et b2
            C avec niveau c1 et c2   

6.3.1. PRESENTATION DES RESULTATS
Facteurs	Bloc ou REPETITION		
A	B	C	1     2     3…..r		

a1	b1	C1
C2	a1b1c1
a1b1c2	(1)
c	
	b2	C1
C2	a1b2c1
a1b2c2	b
bc	

a2

	b1	C1
C2	a2b1c1
a2b1c2	a
ac	
	b2	C1
C2	a2b2c1
a2b2c2	ab
abc	

6.3.2. TABLEAU DES SIGNES
Effet	+
(1)	±
A	±
b	±
c	±
Ab	±
Ac	±
bc	±
abc	Diviseur	
-A
-B
-C
+AB
+AC
+BC
-ABC	-
-
-
+
+
+
-	+
-
-
-
-
+
+	-
+
-
-
+
-
+	-
-
+
+
-
-
+	+
+
-
+
-
-
-	+
-
+
-
+
-
-	-
+
+
-
-
+
-	+
+
+
+
+
+
+	
r∑λ2	

   
6  .3.3. EXEMPLE DE DISPOSITIF 23  
  Comparez les effets de la fumure organique 0 et 1tonne/ha, de la fumure azotée 0 et 1tonne/ha, et de la fumure phosphate 0 et 1tonne/ha sur le rendement de haricot avec 2 blocs dans un dispositif factoriel.

 L es résultats sont les suivants : 
	Blocs  	
   Fumure
organique
A	F. Azote

B	F. phosp.

C	1	2	Total
Traitement		
0	0	0
1	32
29	43
39	75 (1)
68 c		
	1	0
1	26
36	36
31	62 b
67 bc		
1	0	0
1	47
51	41
34	88 a
85 ac		
	1	0
1	61
76	76
65	137 ab
141 abc		
Total bloc		358	365 	723		

6.3.3.1. Tableau des signes et de calcul des effets principaux et interactions

Effet	(1)	A	b	C	±
Ab	±
Ac	±
bc	±
abc	Effet des facteurs	
-A
-B
-C
+AB
+BC
+AC
-ABC	-
-
-
+
+
+
-	+
-
-
-
+
-
+	-
+
-
-
-
+
+
	-
-
+
+
-
-
+
	+
+
-
+
-
-
-
	+
-
+
-
-
+
-
	-
+
+
-
+
-
-
	+
+
+
+
+
+
+	179
91
-1
119
19
3
-5	
Total  traitement	75	88	62	68	137	85	67	141	-	

6.3.2. ANALYSE DE VARIANCE AVEC CALCUL DES SOMMES DES    CARRES.

6.3.3.3. Tableau résumé de l’ANOVA
Source de variance	Dl	SC	CM	Fc	Conclusion	
Total
Blocs
Traitement
F. organique
F. Azotée
F. Phosph.

A x B
A x C
B x C
A x B x C
Erreur
 	15
1
7
1
1
1

1
1
1
1
7	-
3,065
3429,94
2002,56
517,56
0,0625

885,06
0,563
22,56
1,56
505,43

	-
3,065
489,99
2002,56
517,56
0,0625

885,06
0,563
22,66
1,56
72,20

	-
-
6,70
27,74
7,57
0,00086

12,25
0,0077
0,31
0,022
-	

*3,79 
**  12,2
* 5,59
NS

*
NS
NS
NS
-	

 
6.4. DISPOSITIF FACTORIEL 24
On a comparé  4 types de fumure chacune à 2 niveaux à savoir :
Fumure de poule (M), Urée (N), du Phosphate (P) et du Potassium (K) .On a utilisé pour ce faire 4 blocs 
Les résultats sont les suivants :
M	N	P	K	Blocs	Total trait	
				1	2	3	4		

m1	

n1
	p1	k1
k2	32
32	42
42	27
56	19
35	121
168	
		p2	k1
k2	29
40	39
44	27
53	28
36	123
173	

n2	p1	k1
k2	26
80	36
68	24
75	18
67	104
290	
		p2	k1
k2	36
105	31
99	32
74	30
73	129
351	

m2	

n1	p1
	k1
k2	47
63	41
41	48
60	45
53	181
217	
		P2	k1
k2	51
64	34
39	40
75	48
72	173
250	
	n2	p1
	k1
k2	61
100	76
68	56
87	64
66	257
321	
		p2	k1
k2	76
90	65
82	70
89	63
101	274
264	
Total bloc	935	848	893	818	3494	

6.4.1. TABLEAU DES SIGNES ET DE CALCUL DES EFFETS PRINCIPAUX ET INTERACTIONS
Effets	(1)	N	M	P	K	mn	mp	Mk	np	nk	pk	mnp	mnk	mpk	npk	mnpk	
576	M																	
682	N																	
176	P																	
770	K																	
 104	MN																	
-10	MP																	
-240	MK																	
112	NP																	
350	NK																	
104	PK																	
-272	MNK																	
-46	MNP																	
26	MPK																	
16	NPK																	
-50	MNPK																	
Total trait																	

6.4.2. ANALYSE DE LA VARIANCE ET CALCUL DES SOMMES DES CARRES

6.4.3. TABLEAU RESUME DE L’ANALYSE DE LA VARIANCE
Tableau de résumé de l’ANOVA
Source de variance	dl	SC	CM	FC	F005	F001	Conclusion	
Total
Bloc
Traitement
M
N
P
K
MN
MP
NP
NK
PK
MNK
MNP
NPK
MNPK
Erreur
	63
3
15
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
45	-
493,315
26.792,94
5.184
7367,56
484
9264,06
169
1,56
900
196
1914
1156
33,06
4
39,06
3989,185	
164,43
1786,19
5.184
7267,56
484
926406
169
1,56
900
196
1914
1156
1156
33,06
4
39,06					
6.5. Dispositif Factoriel 32
C’est la même chose que le dispositif 33.C’est un dispositif avec 2 facteurs ayant chacun 3 niveaux.

6.5.1. PRESENTATION DE RESULTATS
Soient les facteurs A et B où  on a :
A : a1, a2, a3 niveaux
B : b1, b2 b3 niveaux avec 4 répétitions 

La disposition des résultats se présente comme  sui te :
Facteur A	Facteur B	Répétitions
       	Total traitement	
		1	2	3	r		

a1
	b1	X111	X112	X113	X11r	Tt1	
	b2	X121				Tt2	
	b3	X131				Tt3	

a2	b1	X211				Tt4	
	b2	X221				Tt5	
	b3	X231				Tt6	

a3	b1	X311				Tt7	
	b2	X321				Tt8	
	b3	X331	X332	X333	X33r	Tt9	
Total Répétition	Rep.	TR1	TR2	TR3	TRr	TG	
 
6.5.2. ANALYSE DE VARIANCE AVEC CALCUL DES SOMMES DES CARRE

	Facteur B	
Total A	
Facteur A	b1	b2	b3		
a1	Tt1 	Tt2	  Tt3	1	
a2	Tt4	 Tt5	  Tt6	2	
a3	Tt7	 Tt8	  Tt9	3	
Total B	1	2	3	TG	

   
C

6.5.3. TABLEAU RESUME D’ANOVA 

Source de variation	dl	SC	CM	F	
Total
Répétition
Traitement
A
B
AXB
Erreur	axbxr-1
r-1
axb-1
a-1
b-1
(a-1)(b-1)
Par différence	SCT
SCr
SCt
SCA
SCB
SCAXB
SCE	-
CMr
CMt
CMA
CMB
CMAXB
CME		

6.5.4. EXEMPLE DE DISPOSITIF 32
 On  a testé les effets de 3 types d’écartements à savoir: 4cm, 8cm et 12 cm, et de trois variétés de maïs(V1, V2 et V3)  en utilisant quatre blocs. Les résultats sont les suivants 

Variété	 
Ecartement (cm)	Bloc
	Total trait.	
		1	2	3	4		
I	4                        
8
 12	56
60
66	45
50
57	43
45
50	46
48
50	190
203
223	
II	4
8
12	65
60
53	61
58
53	60
56
48	63
60
55	249
234
209	
III	4
8
12	60
62
73	61
68
77	50
67
77	53
60
65	224
257
292	
Total 	Blocs	555	530	496	500	2081	
       
6.5.4.1. Analyse de variance avec calcul des sommes des carrée

6. Tableau des effets principaux
 Variété	Ecartement

	Total
Variété	
	4 	8	12		
I
II
III	190
249
224	203
234
257	223
209
292	616    moyenne= 51,33 
692                =  57,66
773                =  64,41 	
T otal 
Ecartement	663	694	724	2081	
Moyenne	55,25	57,83	60,33		
6.1. SCtotal tableau 6 = (1902 +2492 +........+ 2922  )/4 -C
6.2. SC Ecartement=155,05
6.3. SC Varieté=1027,39
6.4. SC Varieté x Ecartement=765,45

	

6.5.4.2. Tableau résumé de l’analyse de la variance
Source de variation	Dl	 SC	CM	FC	F0,01	
Bloc
Traitement
Variété (V)
Ecartement(E)
VE
Erreur	 3
8
2
2
4 
24	255,64
1947,89
1027,39
155,06
765,44
424,13	85,21
243,48
513,70
77,53
191,36
17,67	4,82*
13,79**
27,15**
4,39**
10,82**	4,72
3,36
7,82
7,82
4,22	
TOTAL	35	2627,64	-	-		
Les résultats montrent que pour les variétés I et III, les rendements augment avec l’augmentation de l’écartement. Par contre avec la variété II, les rendements diminuent. La question qui se pose est de savoir  est –ce que le rendement peut continuer à augmenter ou à diminuer en augmentant les écartements ? En d’autres termes, quelle est la forme mathématique de l’équation qui traduit l’influence de l’écartement sur le rendement.
Pour répondre à cette question, on va décomposer les sommes des carrées de chaque variété en fonction d’écartement. Pour cela, nous allons utilise   la règle ci-après :

 Si les niveaux utilisés sont en progression arithmétique alors les  vont être trouvés sur la table des polynômes orthogonaux. pour ce faire nous pouvons tirer le tableau de polynômes orthogonaux en fonction de nombre de niveau.

Le degré de polynôme est égal au nombre de niveau moins un
Le tableau ci-après donne l’extrait des polynômes.
Degré de polynôme	Comparaison	Niveau utilisé	Diviseur2	
		1	2	3	4	5		
1	linéaire	-1	+1				2	
2	linéaire
quadratique	-1
+1	0
-2	+1
+1			2
6	
3	linéaire
quadratique
cubique	-3
+1
-1	-1
-1
+3	+1
-1
-3	+3
+1
+1		20
4
20	
4	linéaire
quadratique
cubique
quartique	-2
+2
-1
+1	-1
-1
+2
-4	0
-2
0
+6	+1
-1
-2
-4	+2
+2
+1
+1	10
14
10
70	

6.5.4.3. Décomposition des sommes des carrée
a) Tableau de composants linéaire, quadr atique et cubique
Composante	Ecartement		
	4	8	12		

linéaire
quadratique	
-1
+1	
0
-2	
+1
+1	
L= total de composante	
				l                  q	
Variété I
Variété II
Variété III	190
249
224	203
234
257	223
209
292	+33             +7
-40              -10
+68             +2	
 b) Calcul de somme des carrés
 
6.6. DISPOSITIF FACTORIEL 3X4
C’est un dispositif factoriel à deux facteurs dont l’un à 3 niveaux et l’autre à 4 niveaux. 
L’analyse de la variance est traitée de la même manière que le dispositif 32 
6.6.1. EXEMPLE D’UN DISPOSITIF 34
On  a conservé les haricots à 3 types de température à savoir : 0°,30° et 60°, pendant 2, 4, 6 et 8 semaines. A la fin de l’expérience on a mesuré la teneur en vitamine C et on a fait 3 mesures par traitement.
 Les résultats obtenus sont les suivants :
Température	Durée
(semaine)	Répétition (mg/100g)	Total
Traitement	
		1	2	3		
0	2
4
6
8	16
15,6
15,4
15,2	16
15,7
15,3
15,5	16
15,7
15,3
15,3	48,0
47,0
46
46	
30	2
4
6
8	15
14,3
13,6
12,3	15
14,4
13,7
12,4	15
14,3
13,7
12,4	45
43
41
37,1	
60	2
4
6
8	11,3
9,3
7
5,4	11,4
9,4
7
5,3	11,3
9,4
7
5,3	34
28,1
21
16	
Total
Répétition	-	150,4	151,1	150,7	452,2	
Analyse de la variance

                   
6. Tableau des effets principaux et interaction
Température	Durée (semaine)
	Total

T°	
	2	4	6	8		
0

30

60	48

45

34	47

43

28,1	46

41

21	46

37,1

16	187

166,1

99,1	
To tal Durée	127	118,1	108	99,1	452,2	

 

Il est question maintenant de faire la décomposition des sommes des carrés, car plus la T° plus la teneur en vitamine C.
7. Décomposition des S.C.

7.1. Température

T°	0	30	60		
linéaire 
quadratique	-1
+1	0
-2	+1
+1	Ll
	Lq	
Durée						
2
4
6
8	48
47
46
46	45
43
41
37,1	34
28,1
21
16	-14
-18,9
-25
-30	-8
-10,9
-15
-12,2	
Total	-87,9	-46,1	

7.2. Durée
Durée	2	4	6	8		
lin
quad
cub
	-3
+1
-1	-1
-1
+3	+1
-1
-3	+3
+1
+1	

Ll	

Lq	

Lc	
T°    0

30
60
	48
45
34
	47
43
28,1	46
41
21
	46
37,1
16
	-7
-25,7
-61,1
	+1
-1,9
+0,9	+1
-1,9
+3,3	
Total	-93,8	0	+2,4	

La question qui se pose maintenant est de trouver comment la variation de température linéaire et de température quadratique en  relation avec la durée linéaire, quadratique et cubique .On doit donc trouver d’une part TIDI, TIDq, et TIDc et autre part TqDl, TqDc, TqDc.
7.3. TxD
 7.3.1. TlDl, TlDq, et TlDc
Durée	2	4	6	8		
TlDl
TlDq
TlDc	-3
+1
-1	-1
-1
+3
	+1
-1
-3
	+3
+1
+1	-54,1
0
+2,3	
TI	-14	-18,9	-25	-30	-	

7.3.2. TqDl, TqD, TqDc
Durée	2	4	6	8		
TqDl
TqDq
TqDc	-3
+1
-1	-1
-1
+3	+1
-1
-3	+3
+1
+1	-16,1
+5,9
+8,3	
Tq	-8	-10,9	-15	-12,2	-	

7.3.2.4. Tableau Résumé de l’ANOVA.

Source de  variation	Dl	SC	CM	Fc	F0, 05	
Total
Répétition
Traitement
Température
Tl
Tq

-    Durée
Dl
Dq
Dc

Température x durée
Tlxdl
TlxDq
TlxDc
TqxDl
TqxDq
TqxDc

Erreur	35
2
11
2
1
1

3
1
1
1

6

1
1
1
1
1
1

22	426,31
0,025
426,21
351,45
321,93
29,52

48,92
48,89
0
0,032

25,84

24,39
0,0
0,044
0,72
0,483
0,191

0,0755	-
0,0125
38,75
175,72
321,93
29,52

16,3
48,89
0
0,032

4,31

24,39
0,0
0,044
0,72
0,483
0,191

0,0034
	
3,67
11397,05
51682, 35
94685,29
8682,35

4796,07
14379,4
0
9,41

126,7

7173,5
00
12,94
211,76
142,05
56,18

-	
NS
xx
xx
xx
xx

xx
xx
NS
xx

xx

xx
NS
xx
xx
xx
xx
	
Conclusion.
Les effets de la température sont significatifs .Il y a diminution de la teneur en acide ascorbique en fonction de la T°  de manière parabolique.
Les effets de durées sont significatifs. Donc plus la durée de conservation augmente plus la teneur en acide ascorbique diminue. Puisque Dl est significatif et Dq est non significatif, cette diminution est linéaire.
L’interaction T° x Durée est significative. 
Cela  veut dire que une durée de conservation plus longue de l’acide ascorbique s’accompagne d’une plus forte diminution d’acide ascorbique si la température de conservation augmente. 
En d’autre terme, les effets de la T° sur la teneur en acide ascorbique varie selon le temps de conservation 

CHAPITRE VII. DISPOSITIF FACTORIEL EN SPLIT PLOTS
On l’appelle parfois “dispositif en tiroir” En effet, dans certains dispositifs factoriels on s’arrange pour que l’un des traitements soit un facteur principal avec un nombre de répétitions réduit, Tandis que l’autre  sera le facteur secondaire. Le facteur principal sera randomisé dans les blocs alors que le facteur secondaire sera randomisé dans le facteur principal, donc avec un nombre de répétitions plus élevé que celui de facteur principal.
La conséquence de cet arrangement est que l’erreur expérimentale des traitements secondaires est différente de celle du traitement principal. 
7.1. DISPOSITIF EN SPLIT PLOT             
C’est un dispositif factoriel où il y a un facteur principal et un facteur secondaire. Considérons le facteur A, facteur principal, de niveau a0, a1 et a2 et le facteur B secondaire de niveau b0, b1 et b2. On aura comme traitements : 
Facteur A	Facteur B	Réplication
	
		1      2 ……………..r	
a0	b0
b1
b2	a0b0
a0b1
a0b2	
a1	b0
b1
b2	a1b0
a1b1
a1b2	
a2	b0
b1
b2	a2b0
a2b1
a2b2	
        
7.1.1.   PRESENTATION SUR LE TERRAIN
Sur le terrain le facteur principal est randomisé dans les répétitions et le facteur secondaire est randomisé dans le facteur principal.
La présentation sur le terrain sera donc :   

a2	a1	a0	
b1	b0	b2	b0	b2	b1	b2	b1	b0	

7.1.2. MODELE STATISTIQUE

7.1.3.  Présentation des résultats et calcul des sommes des carrés

Facteur A	
Facteur B	Réplication	Total traitement	
		  1                 2      ….   ………r		
a1	b1
b2
     b3	y111	                  y112                  y11r
…                         …               …..
y131                   y132                   y13r   	Tt1
Tt2
Tt3	
	Total	Ta1R1              Ta1R2                Ta1Rr	Ta1	
a2	b1
b2
b3	Y211	                  y212                  y21r
…                         …               …..
Y231                   y232                   y23r   	Tt4
Tt5
Tt6	
	Total	Ta2R1              Ta2R2                Ta2Rr	Ta2	
a3	b1
b2
b3	y311	                  y312                  y31r
…                         …               …..
Y331                   y332                   y33r   	Tt7
Tt8
Tt9	
	Total	Ta3R1               Ta3R2                Ta3Rr	      TAa3	
Total Réplic ation	TR1                 TR2   …              TRr	TG	
7.1.4. Calcul des sommes des carrés.
        1. Facteur correctif =  . 
2. SC Total= (Y111)2+ (Y112)2+………. (Y33r)2-C=

 
3. Tableau groupe principal (A et bloc).
Facteur A	Bloc 1	Bloc 2………	Bloc r	Total A	
a1	Ta1R1	Ta1R2	      Ta1Rr	TA1	
a2	Ta2R1	Ta2R2	Ta2Rr	TA2	
a3	Ta3R1	Ta3R2	Ta3Rr	TA3	
Total bloc	TR1	TR2   …	TRr	         TG	

4.	Groupe secondaire (A ;B et A x B)
	Facteur B	
Facteur A	  b1	b2	b3	
a1
a2
a3	Ta1b1=Tt1	                          Ta1b2=Tt2                        Ta1b3=Tt3                      
Ta2b1=Tt4	                          Ta2b2=Tt5	                      Ta2b3=Tt6
Ta3b1=Tt7                          Ta3b2=Tt8                        Ta3b3=Tt9   	
Total B	Tb1                            Tb2                                     Tb3	

SC(eb)= SCT – SC Groupe principal – SCB –SC AXB SCA

7.1.5. Tableau Résumé de l’anova
Source de variation	dl	SC	CM	
Total

Groupe principal

Facteur principal (A)

Répétition ou bloc(R)

Erreur (a)

Groupe secondaire

Facteur B

A X B

Erreur (b)	N-1=xx r-1
 
r x-1

-1

r-1

(-1)(r-1)

r(-1)

-1

(-1)(-1)

 (r-1)(-1)
	SCT

SCGP

SCA

SCR

SCE (a)

SCGS.

SCB

SC A x B

SCE (b)
		
  L’erreur (a) est confondue avec l’interaction facteur principal A  et  Bloc.

7.1.6. EXEMPLE 
Trois variétés de maïs fourrager ont été cultivées dans 6 blocs et coupées à 4 dates différentes : A, B, C et D. Les rendements en fourrages ont été calculés. Le dispositif sur terrain est en SPLIT PLOT avec le facteur variété comme facteur principal.

 Les résultats trouvés sur le terra in sont les suivants :
Variétés	Date	Blocs	Total
Traitement	
		1	2	3	4	5	6		
VI 	A
B
C
D	2,17
1,58
2,29
2,23	1,88
1,26
1,60
2,01	1,64
1,22
1,67
1,82	2,34
1,59
1,91
2,10	1,58
1,25
1,39
1,69	1,66
0,94
1,12
1,10	11,27
7,84
9,98
10,95	
VII	A
B
C
D	2,33
1,38
1,86
2,27	2,01
1,30
1,70
1,80	1,70
1,85
1,81
2,01	1,78
1,09
1,54
1,40	1,42
1,13
1,67
1,31	1,35
1,06
0,88
1,06	10,59
7,81
9,46
9,85	
VIII	A
B
C
D	1,75
1,52
1,55
1,56	1,95
1,47
1,61
1,72	2,12
1,80
1,82
1,99	1,78
1,37
1,56
1,55	1,31
1,01
1,23
1,51	1,30
1,31
1,13
1,33	10,21
8,48
8,90
9,66	
Total 		22,49	20,31	21,45	20,01	16,50	14,24	115 ;00	
7.1.6.1. Analyse  de la variance avec calcul des sommes des carrés 

Variété	Bloc	Total
variété	
	1	2	3	4	5	6		
V.I
VII
VIII	8,27
7,84
6,38	6,75
6,81
6,75	6,35
7,37
7,75	7,94
5,81
6,26	5,91
5,53
5,06	4,83
4,35
5,07	40,05
37,71
37,25	
Total bloc	22,49	20,31	21,45	20,01	16,50	14,24	115,00	

5.	Groupe Secondaire 

Variété	Date	Total
variété	
	A	B	C	D		
L
C
D	11,27
10,59
10,21	7,84
7,81
8,48	9,98
9,46
8,90	10,96
9,85
9,66
	40,04
37,71
37,25
	
  Total date	32,07	24,13	28,34
	30,446	1150	

5. Tableau résumé d’ANOVA  
Source de variation	Dl	SC	CM	Fc	
*Total
*Groupe principal
bloc
Varieté
Erreur (a)
*Groupe secondaire
 Date
VxD
Erreur (b)	71
17
5
2
10
54
3
6
45	9,1218
5,6902
4,1494
0,1781
1,3622
2,3511
1,9625
0,2105
1,2586	-
-
0,8298
0,0890
0,1362
-
0,6541
0,0350
0,02779	

   
7.2. SPLIT-SPLIT-PLOTS
Prenons le facteur A=a1 et a2 niveaux, Facteur B= b1, b2, b3 niveaux Facteur C=c1, c2 etc3 niveaux
 Le nombre de répétition est de 1…2…r. 

Facteur A	
Facteur  B	
Facteur C	Répétition	Total
Traitement	
			1……2…………....r		
a1	b1	c1
c2
c3	y1.1.1.1
y1.1.2.1
y1.1.3.1	Tt1
Tt2
Tt3	
			Ta1b1R1…………..Ta1b1Rr	Ta1b1	
	b2	c1
c2
c3
		Tt4
Tt5
Tt6	
			Ta1b2r1…………….Ta1b2Rr	ta1b2	
	b3	c1
c2
c3		Tt7s
Tt8
Tt9	
			Ta1b3R1………….Ta1b3Rr	Ta1b3	
			Ta1R1		
a2	b1	c1
c2
c3		Tt10
Tt11
Tt12	
			Ta2b1R1.........Ta2b1Rr	Ta2b1	
	b2

	c1
c2
c3		Tt13
Tt14
Tt15	
			Ta2b2R1………….Ta2b2Rr	Ta1b2	
	b3	c1
c2
c3	y 2.3.1.1
y 2.3.2.1
y 2.3.3.1	Tt16
Tt17
Tt18	
			Ta2b3R1………..Ta2b3Rr	Ta2b3	

7.2.1.SOURCES DE VARIATION ET CALCUL DE DEGRE DE LIBERTE
Source de variation	Dl	SC	
Total	xbxcxr-1
		
Groupe principal	
xr-1		
Facteur A	
-1		
Bloc	r-1

Erreur (a)
	(-1)(r-1)		
Groupe secondaire	(b-1)(rx)
		
Facteur B
	(b-1)		
A x B
	(-1)(b-1)		
Erreur (b)
	(r-1)(b-1)		
Groupe tertiaire	(c-1)(bxxr)
		
Facteur C
	c-1		
A X C	(-1)(c-1)
		
B X C
	(b-1)(c-1)		
ABC
	(-1) (c-1)  (b-1)		
Erreur (c)	b(r-1) (c-1)		

7.2.2. CALCUL DES SOMMES DES CARREES 

Facteur A	Répétition	Total A	
	1………..2………..r		
 a1

a2	TA1R1    TA1R2 ….TA1Rr

TA2R1….TA2R2….TA2Rr
	 Ta1

Ta2	
Total Replicat	TR1     TR2……..TRr	TG	

Où TA1R1=T1.1.1+T1.2.1+T1.3.1= Ta1b1R1+ Ta1b2R1+ Ta1b3R1

 
4. Tableau Facteur A et Facteur B
Facteur A	Facteur  B	Total Facteur A	
	b1         b2           b3             		
 a1   

a2	Ta1b1     Ta1b2       Ta1b3

Ta2b1      Ta2b2      Ta2b3		
Total Facteur B	 Ta1a2b1  Ta1a2b2   Ta1a2b3		

 5. Tableau Facteur A, Facteur B, et réplication
 Facteur A	Facteur B	1…………..2…………….r           	
a1	b1
b2
b3	Ta1b1R1    Ta1b1R2    Ta1b1Rr Ta1b2r1
Ta1b3R1	
a2	b1
b2
b3	Ta2b1R1                                    Ta2b1Rr
Ta2b2R1
Ta2b3R1                                    Ta2b3Rr	

Groupe secondaire

6.Tableau B et C
B	C	Total B	
	C1                                 C2                    C3		
b1

b2

b3	Tt1+Tt10  =Tb1c1       Tt2+Tt11 = Tb1c2    Tt3+Tt12=Tb1c3

Tt4+Tt13 =Tb2c1      Tt5+Tt14= Tb2c2      Tt6+Tt15 =   Tb2c3

Tt7+Tt16=Tb3c1     Tt8+Tt17=Tb3c2       Tt9+Tt18= Tb3c3
  		
Total C	TC1                                        TC2                        TC3		

7. Tableau facteur A et facteur C

Facteur. A	Facteur          C	
	C1                      C2                              C3    	
a1

a2	Tt1+Tt4+Tt7    Tt2+Tt5+Tt8                 Tt3+Tt6+Tt9
=Ta1c1              =Ta1c2                     =Ta1c3

Tt 10+Tt13+Tt16      Tt11+Tt14+Tt17      Tt12+Tt15+Tt18     
=Ta2c1                    =Ta2c2                 =Ta2c3

 
 
Exemple: de split-split-plot.
On a comparé deux méthodes culturales à savoir irrigation et non irrigation en utilisant trois types d’écartements, 1, 2, et3 avec 3 doses d’engrais azotés, 30, 60, 90kg à l’hectares sur une culture de haricot avec quatre blocs ou répétitions. A la fin de l’expérience, o n a calculé les rendements à l’hectare. Les résultats obtenus sont les suivants :
Irrigation	Ecartement	Fertilisation
(F)	Blocs   (R)	Total de traitement	Total de Méthode	
			1	2	3	4			
Non irrigué	1	30	90	83	85	86	344		
		60
	95	80	88	78	341		
		90	107	95	88	89	379		
		……………….	292	258	261	253	1064		
	2

	30	92	98	112	79	381		
		60	89	98	104	86	377		
		90	92	106	91	87	376		
		T12.	273	302	307	252	1134		
	3	30	81	74	82	85	322		
		60	92	81	78	89	340		
		90	93	74	94	83	344		
			266	229	254	257	1006	3204	
Irrigu é	1	30	80	102	60	73	315		
		60	87	109	104	114	414		
		90	100	105	114	114	433		
			267	316	278	301	1162		
	2	30	121	99	90	109	419		
		60	110	94	118	131	453		
		90	119	123	113	126	481		
			350	316	321	366	1353		
	3	30	78	136	119	116	449		
		60	98	133	122	136	489		
		90	122	132	136	133	523		
			298	401	377	385	1461	3976	
T.G.		7180	7180	
Question:
Si l’expérimentation a été conduite en factoriel ordinaire :
a1. Présenter ce dispositif sur le terrain.
a2. Faire l’analyse de la variance.
Si l’expérimentation a été conduite en factoriel SPLIT PLOT
b1           Présenter ce dispositif sur terrain.
Analyse de la variance avec calcul des sommes des carrée.

3. Tableau groupe principal 

Irrigation	Blocs	
Total méthode	
	1	2	3	4		
Non Irrigué	831	789	822	762	3204	
Irrigué	915	1033	976	1052	3976	
Total Bloc	1746	1822	1798	1814		

4. Tableau groupe secondaire Irrigation et Ecartement
Irrigation
(I)	Ecartement(E)		
	1	2	3		
Non Irrigué	1064	1134	1006		
Irrigation	1162	1353	1461		
Total Ecart	2262	2487	2467		

6. Tableau Ecartement, Fertilisation
Ecartement	Fertilisation		
	1	2	3		
1	659	755	812		
2	800	830	857		
3	771	829	867		
Total	2230	2414	2536	7180	

7. Tableau Irrigation et Fertilisation
Irrigation	Fertilisation		
	1	2	3		
NI	1047	1058	1099		
I	1183	1356	1437		

9. Tableau Résumé de l’ANOVA
Source de variance	Dl	SC	CM	F	F0,05	
Total	71	23756,44				
Groupeprincipal	7	9883,77				
Bloc	3	194,44				
Irrigation	1	8277,55				
Erreur (a)	3	1411,78				
Groupe secondaire	16					
Ecartement(E)	2	1758,4				
IxE	2	2746,99				
Erreur (b)	12	2787,45				
Groupe tertiaire	48					
Fertilisation	2	1977,44				
IxF	2	953,45				
ExF	4	304,85				
IxExF	4	234,76				
Erreur (C)	36	3108,83				

CHAPITRE VIII : 
DISPOSITIF EN BLOCS INCOMPLETS EQUILIBRES
8.1. DEFINITION
C’est un arrangement de t traitements dans b blocs de telle manière que chaque bloc contienne k traitements distincts et chaque traitement apparaît dans r différents blocs. Chaque paire de traitement apparaît ensemble, exactement dansblocs.
8.2. CONDITIONS NECESSAIRE POUR QUE LE DISPOSITIF PUISSE EXISTER :       
bk=tr=N         Où  t=nombre de traitements 
R (k-1)= (t-1)         b=nombre de blocs
B≥t              k=nombre de traitements dans chaque bloc                        r = nombre de blocs où chaque traitement apparaît. 
=nombre de blocs où chaque paire de traitement apparaît.
                          Rt=N=bk=nombre total de résultats.
8.3. AVANTAGES 
Il y a diminution de l’hétérogénéité à l’intérieur des blocs grâce à l’utilisation des blocs des dimensions plus petite.
On peut comparer plusieurs traitements dans les blocs des petites dimensions et homogènes.
Il y a peu de perte d’efficience due aux blocs incomplets si l’information sur l’inter bloc peut être trouvé.
8.4. DESAVANTAGE
Les dispositifs ne sont pas possibles pour toutes les valeurs de t, de r et de k.
Si le dispositif est possible, il demande un grand nombre de répétition pour pouvoir obtenir l’équilibre.
Difficultés d’interpréter les résultats s’_il y a interaction entre blocs et traitements.
Le Dispositif est plus complexe et l’analyse plus difficile.
8.5. MODELE STATISTIQUE
   8.6. ESTIMATIONS
8.6.1. ESTIMATEURS INTRA BLOCS
Les estimateurs des effets de traitements ajustés suite aux différences entre blocs sont donnés ci-dessous :
 
Les traitements moyens ajustés sont donnés par 

8.6.2. ANALYSE DE LA VARIANCE : ANALYSE INTRA BLOC
Source de Variance	Dl	SC	

Bloc (non ajusté)

Traitement (ajusté)

Erreur intra bloc

Total
	
b-1

t-1

tr - t-b+1

Tr - 1	
	
8.6.3. ANALYSE DE LA VARIANCE – ANALYSE INTER  BLOC
Source de variance	dl	SC	
Bloc (ajusté)

Traitement (non ajusté) 

Erreur intra bloc

Total	b-1

t-1

tr-t-b - 1

tr-1		
*Bloc (ajusté)=bloc (non ajusté) +Traitement (ajusté)
                                           -Traitement (non ajusté).
8.7. EXEMPLE 
Soit un plan : t=b=7 ; r=k=3 ; =1
 Bloc                    	Traitements	
1	A	B	C	
2	B	C	D	
3	C	D	E	
4	D	E	F	
5	E	F	G	
6	F	G	A	
7	G	A	B	
Après randomisation on obtient
8.7.1. RESULTATS DE TERRAIN
Blocs	Soit Traitements et résultats	
1	C : 5,8	F : 5,5	D : 7,3	
2	B : 10,2	G : 8,8	F : 10,4	
3	A : 13,0	G : 15,7	C : 10,1	
4	B : 5,8	D : 6,3	A : 8,7	
5	E : 11,9	C : 9,3	B : 12,4	
6	E : 11,2	F : 10,5	A : 13,7	
7	G : 13,1	E : 12,9	D : 7,4	
 8.7.2. TABLEAU DE PRESENTATION DES RESULTATS POUR L’ANALYSE DE LA VARIANCE
Traitements	
Blocs	A	B	C	D	E	F	G	Bj	
1	-	-	5,8	7,3	-	5,5	-	18,6	
2	-	10,2	-	-	-	10,4	8,8	29,4	
3	13,0	-	10,1	-	-	-	15,7	38,8	
4	8,7	5,8	-	6,3	-	-	-	20,8	
5	-	12,4	9,3	-	11,9	-	-	33,6	
6	13,7	-	-	-	11,2	10,5	-	35,4	
7	-	-	-	7,4	12,9	-	13,1	33,4	
Ti	35,4	28,4	25,2	21,0	36,0	26,4	37,6	210	
8.7.3. ANALYSE DE VARIANCE
8.7.3.1. Analyse de la variance intra bloc
a. Valeurs estimées de l’intra bloc
i						
A	35,4	95,0	11,2	1,6	11,6	
B	28,4	93,8	1,4	0,2	10,2	
C	25,2	91,0	-15,4	-2,2	7,8	
D	21,0	72,8	9,8	-1,4	8,6	
E	36,0	102,4	5,6	0,8	10,6	
F	26,4	83,4	-4,2	-0,6	9,4	
G	37,6	101,6	11,2	1,6	11,6	
 
b) calcul des sommes des carrés intra blocs

6) Tableau résumé de l’ANOVA
Source de variation	dl	SC	CM	F0,05	
Total	20	171,36	-		
Bloc (non ajouté)	6	115,36	-		
Trait (ajusté)	6	30,24	5,04	1,56	
Erreur intra bloc (a)	8	25,76	3,22(a)		

8.7.3.2. Analyse de la variance inter bloc
a) Calcul des sommes des carrés

b) Tableau résumé de l’ANOVA
Source de variance	dl	SC	CM	
Total	20	171,36	-	
Bloc (ajusté)	6	64,77	10,80 Eb	
Traitement (non ajusté)	6	80,83	-	
Erreur inter bloc	8	25,76	3,22Ee	
Les valeurs de l’inter bloc ne sont pas utiles en elles- même, mais s’ils sont combinés avec les valeurs de l’intra bloc, ils peuvent donnés une meilleur estimation des effets de traitement. Dès lors, le calcul des valeurs combinées estimées est  le suivant :

i	Ti	wi	Ti+uwi		
A	35,4	-8,4	34,98	11,66	
B	28,4	30,8	29,94	9,98	
C	25,2	-25,2	23,94	7,98	
D	21,0	67,2	24,37	7,12	
E	36,0	-50,4	33,47	11,16	
F	26,4	25,2	27,66	9,22	
G	37,6	-39,2	35,64	11,88	

Où wi = 4Ti -6
     U=

La variance de l’erreur effective est de 
[1+ (t-k) u]Ee=1,2004 Ee=3,865
La somme du carré de traitement ajusté est égale :

Le tableau résumé de l’ANOVA avec recouvrement de l’information inter sera :
Source de variance	dl	SC	CM	Fc	F0,05	
Total	20	171,36	-			
Bloc (ajusté)	6	64,77	10,79	-		
Trait (ajusté)	6	47,52	7,92			
Erreur effective 	8	-	3,82			
          
Avec dl =  

CHAPITRE IX :
DISPOSITIF AVEC BLOCS INCOMPLETS EQUILIBRES AVEC BLOCS ARRANGES PAR GROUPE DE REPETITION
9.1. DEFINITION
C’est un dispositif expérimental dans lequel les blocs incomplets peuvent être arrangés en groupe de telle façon que chaque groupe contienne exactement une répétition de chaque traitement.
9.2. AVANTAGES
-	On peut obtenir une deuxième source de variation. Cependant cette source est parallèle aux blocs d’où elle n’est pas équivalente au système de contrôle d’hétérogénéité à deux voies.
-	Le dispositif peut être analysé comme le dispositif en blocs randomisés ordinaire.
9.3. MODELE STATISTIQUE
 
9.4. ANALYSE DE VARIANCE
N.B: 
- Le degré de liberté b-1 pour le bloc est divisé en deux composants : r-1 pour la répétition et b-1 pour les blocs de même répétition.
     - Le facteur u utilisé pour calculer les moyennes des traitements ajustés basées sur l’information combinée sur l’analyse intra et inter classe devient :

u=

-  La somme des carré de bloc /répétition (ajusté) est obtenue de la manière suivante :
Bloc / répétition (ajusté) = Bloc répétition (non ajusté) +traitement (ajusté)-traitement (non ajusté) 
Le tableau résumé de l’analyse de la variance est le suivant :
Source de variance	dl	SC	
Répétition	r-1		
Bloc/répétition (non ajusté)	b		
Traitement ajusté	t-1		
Traitement (non ajusté)	t-1		
Bloc/répétition (ajusté)	b-r	Bloc/répétition (non ajusté) +trait (ajusté)-traitement (non ajusté)	
Exemple : Soit un dispositif avec les paramètres 
t=8; b=14; r=7; k=4; et=3
Les résultats obtenus sont les suivants.

	Traitement	
Répétition	Bloc	A	B	C	D	E	F	G	H	Bl	Rl	
1	1
2	13,7
-	-
14,2	15,6
-	-
9,5	-
15,1	7,8
-	-
18,8	18,9
-	53,0
57,6	110,2	
2	3
4	11,6
-	-
15,3	-
14,7	8,8
-	16,3
-	-
7,5	-
17,4	14,9
-	51,6
54,9	106,5	
3	5
6	-
13,3	14,5
-	13,6
-	-
6,1	13,9
-	-
10,7	-
16,8	15,5
-	57,5
46,9	104,4	
4	7
8	18,5
-	18,2
-	17,8
-	11,9
-	-
9,7	-
6,5	-
15,4	-
11,8	66,4
43,4	109,8	
5	9
10	-
12,8	14,2
-	-
14,4	10,5
-	-
17,1	8,1
-	-
17,4	13,5
-	46,3
61,7	108,0	
6	11
12	16,8
-	15,3
-	-
14,3	-
6,8	17,4
-	10,6
-	-
14,7	-
12,1	60,1
47,5	107,5	
7	13
14	-
14,9	-
12,5	15,2
-	8,6
-	15,4
-	8,6
-	-
17,8	-
17,3	47,8
62,5	110,3	
	Ti	101,6	104,2	105,6	61,8	104,9	59,8	118,3	101		757,2	
Analyse  de la variance
 Facteur correctif=

SC Traitement
Calcul des valeurs estimées :
i	Ti		Qi	wi	Ti+uwi	
A	101,6	402,2	4,2	-137,4	96,42	
B	104,2	405,3	11,5	-148,7	98,61	
C	105,6	388,8	33,6	-27,6	104,56	
D	61,8	364,1	-116,9	-29,9	60,68	
E	104,9	379,7	39,9	33,3	106,15	
F	59,8	352,4	-113,2	44,0	61,45	
G	118,3	374,5	98,7	123,3	122,94	
H	101	361,8	42,2	143,0	106,38	

Tableau résumé
Source  de variation	dl	SC	CM	F	F0,05	
Répétition	6	3,83				
Bloc/rép(non ajusté)	7	160,68	22,95			
Trait (ajusté)	7	425,76	60,82			
Trait (non ajusté)	7	465,42				
Bloc/rép(ajusté)	7	121,02	17,28Eb			
Erreur intra bloc	35	58,46	1,67Ee			
= Voir page précédente
La variance de l’erreur effective =[1+(t-k)]Ee
                                            =[1+(4)0,0376]1,67
                                            =1,92
=

CHAPITRE X : 
CONFOUNDING DANS UN DISPOSITIF FACTORIEL 2N
10.1. DEFINITION 
C’est un dispositif factoriel dans lequel la taille de bloc est réduite en sacrifiant la précision de certains effets, surtout les interactions de niveau élevé.
Pour cette raison on force les effets de blocs d’être confondus aux effets de l’interaction qui a été choisie pour être sacrifié.  
10.2. BUT 
Réduire les effets des différences de facteurs du sol en utilisant de blocs de petites dimensions contenant seulement une partie de traitements dans chaque bloc.
10.3. TYPE DE CONFOUNDING
Confounding complet : le même traitement est confondu dans chaque réplication.
Confounding partiel : plusieurs traitements sont confondus chacun dans au moins deux réplications.
10.4. DESAVANTAGES
-	Les traitements confondus au bloc sont répliqués moins de fois que les traitements non confondus. Ce qui résulte en une perte de précision
-	Les calculs sont plus difficiles
10.5. CONFOUNDING COMPLET
10.5.1. Cas de dispositif factoriel 23
Soit le facteur A,B et C chacun à deux niveau .Les Combinaisons Factoriels sont :
AOBOCO=(1)                      AOB1C1=bc
A1B0C0=(a)                      A1B1C0=ab
A0B1C0=b                        A1B1C1=abc
A1B0C1=ac                       A0B1C1=bc
Le calcul des effets factoriels totaux sera :
									
-A	-	+	-	-	+	+	-	+	
-B	-	-	+	-	+	-	+	+	
-C	-	-	-	+	-	+	+	+	
+AB	+	-	-	+	+	-	-	+	
+AC	+	-	+	-	-	+	-	+	
+BC	+	+	-	-	-	-	+	+	
-ABC	-	+	+	+	-	-	-	+	
Les effets principaux et interaction seront :

Si nous sacrifions les interactions de niveau élevé soit ABC dont les effets sont 
C'est-à-dire nous confondons les effets d’interaction avec bloc. Nous pouvons donc diviser chaque réplication en deux blocs de quatre unités de telle manière que dans chaque réplication formée de deux blocs l’un de bloc contient des unités positives et l’autre bloc contient des unités négatives.
Si nous devons construire un dispositif expérimental factoriel de 23 en blocs de 4 unités et trois répétitions avec ABC confondu en bloc nous aurons :

                   Rep I                 Rep II                    Rep III

abc
a
b
c

ab
ac
bc
(1)

abc
a
b
c

ab
ac
bc
(1)

abc
a
b
c

ab
ac
bc
(1)

  Bloc       1         2                 3        4                 5        6   

 
10.5.2. EXEMPLE D’UN DISPOSITIF 23
On a comparé les effets de fumure organique A(0 et 1), Azotée B(0et1) et phosphorée C(0 et1) sur le rendement de haricot dans un dispositif factoriel avec deux réplication et avec les effets de ABC confondus au bloc
Représenter cette expérience sur le terrain

          Réplication I            Réplication II              Réplication III

  Bloc     1         2             3          4               5          6

abc
a
b
c

ab
ac
bc
(1)

abc
a
b
c

ab
ac
bc
(1)

abc
a
b
c

ab
ac
bc
(1)

    

Supposons les résultats ci –après 

                           rép I                    rép II

abc=76
a=47
b=26
c=29

ab=61
ac=51
bc=36
(1)=32

abc=65
a=41
b=36
c=39

ab=76
ac=34
bc=31
(1)=43

           Bloc             1             2            3           4

 	

     Total Bloc        178         180           181        184
     Total Rep.               358                         365              TG= 723 
 1. C= facteur correctif=

4

 2. SC bloc=

                       (358)²+(365)² 
8

- C = 

3. SC Répli. =           

 4. SCToTal=3938,44
 5. SCtr=3429,94
 6. SC Effets principaux
Effets principaux									
-A	-	+	-	+	-	+	-	+	
-B	-	-	+	+	-	-	+	+	
-C	-	-	-	-	+	+	+	+	
+AB	+	-	-	+	+	-	-	+	
+AC	+	-	+	-	-	+	-	+	
+BC	+	+	-	-	-	-	+	+	
-ABC	-	+	+	-	+	-	-	+	
	75	88	62	137	168	85	67	141	
 SCFumure A
      SC azote B-----------=517,56
      SC phosphore C------=0,0625
      SC AB-----------------=885,06
SC AC-----------------=0,562
SC BC-----------------=22,66
Tableau de l’ANOVA
SV	Dl	SC	CM	F	
Total	15	3938	-		
Rep	1	3,085	3,06		
Bloc	3	4,69	1,56		
Fumure A	1	2002,5	2002,5	23,94	
Azote B	1	517,56	517,56	6,2	
Phosphore C	1	0,0625	0,0625	0,00075	
AB	1	885,06	885,06	10,58	
AC	1	0,562	0,562		
BC	1	22,66	22,66		
Erreur	6	501,695	83,62	-	

10.5.3. EXEMPLE D’UN DISPOSITIF FACTORIEL 24 CONFONDU DANS LES BLOCS DE 8 UNITES
Exemple : on a fertilisé le sol avec 4 types d’engrais D, N, P, K chacun à deux niveau 0 et 1dans un dispositif factoriel 24 confondu dans les blocs de 8 unités avec le facteur DNPK confondu avec les blocs.
a) Présenter le tableau de calcul des effets factoriels totaux
b) Présenter le dispositif sur le terrain
c) Etant donné les résultats ci-après, faites l’analyse de la variance.

a) présentation de tableau de calcul des effets factoriels principaux
																		
-D	-	+	-	+	-	+	-	+	-	+	-	+	-	+	-	+	-8	
-N	-	-	+	+	-	-	+	+	-	-	+	+	-	-	+	+	-102	
+DN																	32	
-P																	14	
+DP																	88	
+NP																	50	
-DNP																	8	
-K																	-12	
+DK																	-14	
+NK																	-32	
-DNK																	18	
+PK																	28	
-DPK																	-22	
-NPK																	-32	
+DNPK																	50	
	115	95	89	83	84	102	89	100	105	95	87	75	107	99	79	98		

b) Présentation du dispositif expérimental sur le terrain avec résultats
1. Traitement confondu : DPNK
 DNPK=(dnpk-npk-dpk+pk-dnk+nk+dk-k-dnp+np+dp-p+dn-n-d+(1))
   Réplication1                             Réplique II  

dpnk  dp  (1)  nk  dk  dn  np   pk

44     50  58   44  43  41  50   51

npk n   d   dnp  p   k  dnk  dpk

43   47 42   52 39  50  34  44  

dnk   p   dnp   k    d   dpk  n  npk

41   45    48    55  53  55  42  36

nk pk  dp  dk  (1)   dnpk  pn dn

43 56  52  52  57   54    39   42

Bloc 3 =351

bloc1 = 381

bloc 2 = 375

bloc 4 = 395

Total rép 1 = 750			Total rép 2 = 746

C) Analyse de la variance

Tableau résumé de l’ANOVA
SV	dl	SC	CM	F	
Total
Rep
Bloc/Rep
D
N
P
K
DN
DP
NP
DK
Nk
PK
DNP
DNK
DPK
NPK
Erreur	31
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
14	
3,125
123,25
2,0
325,1
6,1
4,5
32,0
242,0
78,1
6,1
32,0
24,5
2,0
10,1
15,1
32
340	
-
61,6
2
325,1
6,1
4,5
32
242,0
78,1
6,1
32
24,5
2,0
10,1
15,1
32,0
24,29	

2,5

19,38
-
-
1,3
9,96
3,2

1,3
-
-
-
-
1,3
-	

TABLE DE MATIERE
PARTIE II : EXPERIMENTATION
CHAPITRE PREMIER :  PRINCIPES D’EXPERIMENTATION
1.1. GENERALITES
1.1.1. OBSERVATION
1.1.2. EXPERIMENTATION
1.1.3. ELEMENTS DU PROTOCOLE EXPERIMENTAL
CHAPITRE 2 : LE DISPOSITION COMPLETEMENT RANDOMISE
2.1. DEFINITION
2.2. MODELE FIXE
2.2.1. MODELE STATISTIQUE THEORIQUE
2.2.2. ANALYSE DE LA VARIANCE
2.2.3. AVANTAGES
2.2.4. DESAVANTAGES
2.2.5. QUAND PEUT–ON UTILISER CE DISPOSITIF.
2.2.6. EXEMPLE
2.3. MODELE 2 OU MODELE VARIABLE.
2.3.1. MODELE STATISTIQUE
2.3.2. ANALYSE DE LA VARIANCE
2.3.3. EXEMPLE
CHAPITRE III : DISPOSITIF HIERACHISE
3.1. Modèle aléatoire
3.1.1. Modèle statistique
3.1.2. PRESENTATION DES RESULTATS
3.1.3. Analyse de la variance.
3.1.4. TABLEAU RESUME DE L’ANOVA
3.1.5. EXEMPLE
3.2. MODELE MIXTE
3.2.1. MODELE STATISTIQUE
3.2.2. PRESENTATION DES RESULTATS
3.2.3. ANALYSE DE LA VARIANCE
CHAPITRE IV: Disposition en Blocs complèts randomisés……………….20
4.1. MODELE STATISTIQUE
4.2. CARACTERES DE BLOC
4.3. AVANTAGES DES BLOCS
4.4. DESAVANTAGES DE BLOCS
4.5. PRESENTATION DES RESULTATS
4.6 ANALYSE DE LA VARIANCE
4.6.1. CALCULE DE SOMMES DES CARREES
4.6.2. TABLEAU RESUME DE L’ANOVA
4.7. EXEMPLE
4.7.1. ANALYSE DE LA VARIANCE
4.7.2. TABLEAU RESUME DE L’ANOVA
4.8. COMPARAISON DES MOYENNES
CHAPITRE V.  DISPOSITIF EN CARRE LATIN
5.1. UTILISATION
5.2. MODELE STATISTIQUE
5.3. AVANTAGES
5.4. DESAVANTAGE
5.5. PLAN EXPERIMENTAL
5.6. PRESENTATION DES RESULTATS POUR L’ANALYSE DE LA VARIANCE.
5.6.1. LIGNES ET COLONNES
5.6.2. TRAITEMENTS
5.7. ANALYSE DE LA VARIANCE
5.7.1. CALCUL DES SOMMES DES CARRES
5.7.2. TABLEAU RESUME DE L’ANOVA
5.8. EXEMPLE
5.8.1. EXPERIMENTATION
5.8.2 ANALYSE DE LA VARIANCE
CHAPITRE VI. DISPOSITIF FACTORIEL
6.1. DEFINITION
6.2. DISPOSITIF FACTORIEL 22
6.2.1. PRESENTATION DES RESULTATS
6.2.2. TABLEAU DES SIGNES
6.2.3. EXEMPLE D’UN DISPOSITIF 22
6.3. DISPOSITIF FACTORIEL 23
6.3.1. PRESENTATION DES RESULTATS
6.3.2. TABLEAU DES SIGNES
6.3.3. EXEMPLE DE DISPOSITIF 23
6.3.2. ANALYSE DE VARIANCE AVEC CALCUL DES SOMMES DES CARREE.
6.4. DISPOSITIF FACTORIEL 24
6.4.1. TABLEAU DES SIGNES ET DE CALCUL DES EFFETS PRINCIPAUX ET INTERACTIONS
6.4.2. ANALYSE DE LA VARIANCE ET CALCUL DES SOMMES DES CARRES
6.4.3. TABLEAU RESUME DE L’ANALYSE DE LA VARIANCE
6.5. Dispositif Factoriel 32
6.5.1. PRESENTATION DE RESULTATS
6.5.2. ANALYSE DE VARIANCE AVEC CALCUL DES SOMMES DES CARRE
6.5.3. TABLEAU RESUME D’ANOVA
6.5.4. EXEMPLE DE DISPOSITIF 32
6.6. DISPOSITIF FACTORIEL 3X4
6.6.1. EXEMPLE D’UN DISPOSITIF 34
CHAPITRE VII : DISPOSITIF FACTORIEL EN SPLIT PLOT
7.1. DISPOSITIF EN SPLIT PLOT
7.1.1. PRESENTATION SUR LE TERRAIN
7.1.2. MODELE STATISTIQUE
7.1.3. Présentation des résultats et calcul des sommes des carrés
7.1.4. Calcul des sommes des carrés.
7.1.5. Tableau Résumé de l’anova
7.1.6. EXEMPLE
7.2. SPLIT-SPLIT-PLOTS
7.2.1. CALCUL DES DEGRES DE LIBERTE
7.2.2. CALCUL DES SOMMES DES CARREES
CHAPITRE VIII.  DISPOSITIF EN BLOCS INCOMPLETS EQUILIBRES
8.1. DEFINITION
8.2. CONDITIONS NECESSAIRE POUR QUE LE DISPOSITIF PUISSE EXISTER :
8.3. AVANTAGES
8.4. DESAVANTAGE
8.5. MODELE STATISTIQUE

8.6.1. ESTIMATEURS INTRA BLOCS
8.6.2. ANALYSE DE VARIANCE : ANALYSE INTRA BLOC
8.6.3. ANALYSE DE LA VARIANCE – ANALYSE INTER  BLOC
8.7. EXEMPLE
8.7.1. RESULTATS DE TERRAIN
8.7.2. TABLEAU DE PRESENTATION DES RESULTATS POUR L’ANALYSE DE LA VARIANCE
8.7.3. ANALYSE DE VARIANCE
CHAPITRE IX : DISPOSITIF AVEC BLOCS INCOMPLETS EQUILIBRES AVEC BLOCS ARRANGES PAR GROUPE DE REPETITION
9.1. DEFINITION
9.2. AVANTAGES
9.3. MODELE STATISTIQUE
9.4. ANALYSE DE VARIANCE
CHAPITRE X : CONFOUNDING DANS UN DISPOSITIF FACTORIEL 2N
10.1. DEFINITION
10.2. BUT
10.3. TYPE DE CONFOUNDING
10.4. DESAVANTAGES
10.5. CONFOUNDING COMPLET
10.5.1. Cas de dispositif factoriel 23
10.5.2. EXEMPLE D’UN DISPOSITIF 23
10.5.3. EXEMPLE D’UN DISPOSITIF FACTORIEL 24 CONFONDU DANS LES BLOCS DE 8 UNITES